第九章：概率与统计中职(职高数学概率统计教案)

欢迎各位同学们，来到我们学习吧第九章概率与统计。啦啦学长来讲一个故事吧！

你听说过一个城市里的披萨店拿出了一份报告吗？他们指出了在过去一年中，他们的蘑菇披萨是最受欢迎的。这就引出了一个重要的问题：如果你去这个城市的一家披萨店，点蘑菇披萨的机会是多少呢？这时候，你就会发现自己进入了概率与统计初步的世界。在这个领域里，我们通常是通过研究数据、归纳和分析，来帮助我们预测未来事件的概率，并做出正确的决策。

当然，这个领域并不只是在披萨店这样的场景里有用，它在很多领域都有应用，包括科学、经济、医学等等。让我们开启一段有趣的学习之旅，探索概率和统计背后蕴含的真理吧！

本章节将讲解“分类（步）计数原理（含排列、组合）”，“概率（古典概型）”，“抽样方法（随机抽样、系统抽样、分层抽样）”，“用样本估计总体（平均数、方差、标准差）”。当我们学习完成后，我们就可以有九成的信心直击高职高考啦，剩下的一成就是考前心态啦！那么我们来看看高职高考数学近五年的考试情况吧！

分类（步）计数原理（含排列、组合）

在中职数学概率与统计初步中，计数原理是一个基本概念，指的是通过一定的方式对可重复的事件进行计数。计数原理包括排列和组合两个部分。

一、排列

排列就是从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其中n>m。排列的具体公式为：A_n^m=n!/(n-m)!，其中“！”代表阶乘，n!代表n*(n-1)(n-2)...1，从n开始每次减1，一直到1。举个例子，如果你有10个球，你想知道从这些球中取出3个球进行排列的方法数，那么这个答案就是109*8=720。

二、组合

组合就是从n个不同元素中取出m个元素，不考虑元素的顺序，所组成的集合个数。组合的具体公式为：C_n^m=n!/[(n-m)!m!]，其中“！”代表阶乘，n!代表n(n-1)(n-2)...1，从n开始每次减1，一直到1。举个例子，如果你有10个球，你想知道从这些球中取出3个球进行组合的方法数，那么这个答案就是[1098]/[32*1]=120。

因为组合是不考虑顺序的，所以在计算和实际运用中，组合更加常用和方便。例如，在概率计算中，我们可以通过组合来计算在一个集合中选取特定大小的子集的概率。

综上所述，排列和组合是中职数学概率与统计初步中分类(步)计数原理的重要组成部分

举个例子吧

当讨论排列和组合时，经常考虑像在一个班级中选取特定数量的学生，或在一副牌中选取特定数量的牌这样的问题。下面分别给同学们两个例子：

1、排列的例子：

在一个班级中有15个学生，其中5个学生被选做学生会官员。学生会需要选出一名主席，一名副主席，以及1名秘书。问学生会官员的选举一共有多少种排列方法？

解：我们可以使用排列的公式进行计算，即 A_5^3。该问题等价于从5个学生中选取3个学生进行排列，因此该问题的答案为 A_5^3 = 5!/(5-3)! = 60。

2、组合的例子：

一副扑克牌（52张）中有4种花色各13张牌。现在我们要从其中选取5张牌来进行一次游戏，问在这种情况下，所有可能性的数量是多少？

解：因为我们只考虑选取的牌的种类，不考虑它们的顺序，所以该问题等价于从52张牌中选取5张牌的组合数。因此，该问题的答案为 C_52^5 = 52!/(5!*(52-5)!) = 2,598,960。

需要注意的是，当我们面对实际问题时，需要根据问题的具体条件来确定是使用排列还是组合公式，并且需要正确地解读题目中的条件。

概率（古典概型）

同学们在中职数学概率与统计初步课程中，概率是一个非常重要的概念。概率是指对于某个随机事件发生的可能性进行量化的方式，通常表示为一个介于0和1之间的数。其中，0表示不可能发生，1表示一定会发生。而“古典概型”是概率计算中的一种基础模型，通常用于模拟对任意事件的研究和推断。

一、古典概型的定义：

当一个试验具有以下性质时，可以称之为古典概型：

1. 试验可以重复进行；
2. 每次试验结果只有成功和失败两种可能性；
3. 每次试验的成功概率相等。

例如，在一次抛硬币的试验中，硬币只有正反两面，且每次正反出现的概率是相等的。这就是一个符合古典概型要求的例子。

二、古典概型的应用：

对于古典概型，我们可以用以下两个基本公式进行计算：

1. 事件的概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A发生的样本点数，n(S)表示样本空间的总数。
2. 样本点数的计算公式： n(S) = n1 x n2 … x nk，其中n1、n2、…、nk分别表示事件各独立成立的可能性数目。

例如，假设我们抛掷一枚骰子，求出得到一个偶数的概率。在这个例子中，样本空间中的元素为{1，2，3，4，5，6}，其中偶数有{2，4，6}个。因此，偶数的概率可以表示为P(A) = 3/6 = 1/2。

再例如，我们在一批产品中随机抽取5个产品进行质量检测，现在我们要计算其中有2个产品不合格的概率。在这个例子中，我们使用了组合公式 C_5^2 来计算选出2个不合格产品的组合数。接着，我们将不合格产品和合格产品的数量代入概率公式中，即 P(A) = C_5^2 / C_5^5 = 10/252，就可以得到所求概率了。

三、注意事项：

在使用古典概型时，需要注意以下几点：

1. 样本空间必须是离散的，即每个样本点都是一个可以唯一识别的、不可分割的个体。
2. 确定样本空间和事件的时候需要注意是否考虑到了所有可能的情况。
3. 在计算概率时，需要先确定样本空间和事件，再使用事件的概率公式进行计算。

总的来说，古典概型是用来计算简单的、随机的、可重复的事件的一个基础模型，基于它我们可以继续学习更为复杂和高级的概率计算问题。

抽样方法（随机抽样、系统抽样、分层抽样）

在中职数学概率与统计初步课程中，抽样方法是数据统计中最基础的内容之一。在作出对总体进行推断或预测的结论时，样本的质量和统计方法的正确性是非常重要的。不同的抽样方法可以适用于不同的研究对象和目的。在中职数学概率与统计初步课程中，我们通常会学习到三种抽样方法：随机抽样、系统抽样和分层抽样。

一、随机抽样：

随机抽样是指完全随机地从一个总体中抽取样本。如同单独从一堆牌中随机抽取一定数量的牌，每张牌被选取的机会是相等的。由于随机抽样遵循随机性，因此它是准确、客观、无偏倚的。随机抽样常常用于科学研究中，如医学研究、生物统计学、社会调查等。

使用方法：为确保随机性，我们可以借助于电脑随机生成样本编号，从而达到完全随机抽样的目的。

二、系统抽样：

系统抽样是指按照特定的规律从某个总体中抽取样本。例如，如果我们想从一座城市的市民中抽取样本，我们可以从人口名册中每10个人中选择一个人来测试。这种抽样方法可以在确保随机性的同时，提高我们的抽样效率。并且，如果选取的系统间距是随机的，则可以解决无法完全随机的问题。

使用方法：确定一个随机的起始点，然后选取特定的间距（如，10人）作为选中样本的规则。

三、分层抽样：

分层抽样是指将用于抽样的总体划分为不同的层次，每个层次都从中抽取样本。例如，在一座城市中，我们将市民按年龄、性别、收入等因素分成不同的组，每个组选取不同个数的样本。这种抽样方法能够保证每个层次的特殊属性和特征得到充分的考虑。利用分层抽样，可以获得总体的更加准确的估计。

使用方法：将有相似数据的个体进行分组，然后对每个分组随机抽取样本进行数据分析。

四、注意事项：

在使用抽样方法时，需要注意以下几点：

1. 确定总体，即样本抽取对象。
2. 确定样本大小，即需要抽取样本的个数。
3. 确定抽样方法，即从总体中抽取样本的具体方法。
4. 确定样本研究因素，即需要监测的信息。

总的来说，在数据统计的过程中，抽样方法对于样本结果的准确性、可靠性和可重复性具有重要的作用。通过选择合适的抽样方法，可以提高数据研究的效率和质量。

用样本估计总体（平均数、方差、标准差）

在中职数学概率与统计初步课程中，用样本估计总体是非常重要的统计方法。样本是从总体中抽取出来的观察数据，因此通过对样本的分析，我们可以推断出整个总体的一些特征，如平均值、方差和标准差。在中职数学概率与统计初步课程中，我们通常会学习到如何用样本估计总体的方法，包括如何计算平均数、方差和标准差。

一、用样本估计总体的方法：

假设有一个总体中包含N个数据，我们从中抽取n个数据构成一个样本。通过对样本的分析，我们可以得到样本的平均值、方差和标准差，然后将这个样本的统计量应用到总体中，从而得到总体的平均值、方差和标准差。

1. 平均值的估计方法：

总体平均值的估计方法有两种：样本平均数和加权平均数。样本平均数是把样本观测值的总和除以样本容量，加权平均数则是将样本观测值的加权总和除以总权数。一般来说，使用样本平均数更为简单且常用。用样本估计总体平均数的公式为：总体平均数的估计值 = 样本平均数。

2. 方差的估计方法：

方差的估计方法是我们用样本观测值减去样本平均值，然后把它们平方，得到平方误差和，将平方误差和除以n-1，即得到样本方差。总体方差的估计值为：总体方差的估计值 = 样本方差 x (n-1)/n。

3. 标准差的估计方法：

通过总体方差的估计值，我们可以得到总体标准差的估计值，即总体标准差的估计值 = 样本标准差 x √(n-1)/√n。

二、注意事项：

在使用样本估计总体时，需要注意以下几点：

1. 样本的数据要尽量具有代表性，以反映整个总体的特征。
2. 样本容量大小必须考虑到数据的稳定性和可靠性，样本容量过小会导致结果不准确。
3. 在计算样本的平均数、方差和标准差时，需要仔细检查计算公式，避免误差。

总的来说，从样本中估计总体的特征是一个常用的统计方法。通过这种方法，我们可以利用相对较小的样本数据推断出总体的各种属性信息，从而为决策和规划提供依据。

嗨，虽然学习中职数学概率与统计初步可能看起来很枯燥，但是没关系。

现在，你已经掌握了中职数学概率与统计初步的一些基本知识，你可能会觉得数学很无聊，但是等等！在这里，我们要告诉你一些好玩的事情。数学可以让你成为一个炫酷的数学奇才！如果你掌握了这些数学技巧，你可以令朋友们惊呼，引来一片喝彩声！

如果你正在寻找解决问题的方法，那么数学就是你的好朋友。无论你想要计算总体平均数、方差和标准差，还是想用统计方法来帮助你做出更明智、更实用的决策，数学都可以成为你的得力助手。

所以，别担心这种看起来很困难的学科了！挑战自己，学会这些知识点，让数学成为你人生的一个重要组成部分吧！