第六章：高职高考数学解三角函数(高职数学三角函数基础题)

Hi，亲爱的同学们。欢迎您再次来到我们学习吧，如果你发现你对数学的三角函数感到困惑和无助，别担心，你不是一个人。毕竟，它们听起来就像是一群数学里最靠后的被遗忘者。

但是，如果你像啦啦学长一样了解它们，你会发现这些三角函数可以像一群小丑一样，把你的数学能力从平淡无味的成绩拉升到惊人的高度！因此在本章中啦啦学长将为您总结 任意角的三角函数，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和角公式与倍角公式，三角函数的图像与性质，解三角形。这七个知识点。

让我们来看看，近五年的考点分析

可以看出，考点的每年都有在分布于试卷，且分数占比也比较高。那么啦啦学长将开始给各位同学们总结考点啦！

任意角的三角函数

三角函数是一组最基本的函数之一，它们是通过三角形中角度和边长之间的关系来定义的。在高中数学中，我们通常学习三角函数的两个角度：45度和30度。但是，有时我们需要计算或分析其它角度的三角函数，这就需要涉及到任意角的三角函数。

在高中数学中，任意角的三角函数有六个，分别是正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。它们分别表示一个三角形中与所求角度有关的边长与角度的比值。下面是它们的具体定义和表示方法：

1. 正弦函数(sin x)：在一个直角三角形中，正弦函数的值等于对边长度和斜边长度的比值。用数学公式表示为sin x = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数(cos x)：在一个直角三角形中，余弦函数的值等于邻边长度和斜边长度的比值。用数学公式表示为cos x = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数(tan x)：在一个直角三角形中，正切函数的值等于对边长度和邻边长度的比值。用数学公式表示为tan x = 对边 / 邻边。
4. 余切函数(cot x)：在一个直角三角形中，余切函数的值等于邻边长度和对边长度的比值。用数学公式表示为cot x = 邻边 / 对边。
5. 正割函数(sec x)：在一个直角三角形中，正割函数的值等于斜边长度和邻边长度的比值。用数学公式表示为sec x = 斜边 / 邻边。
6. 余割函数(csc x)：在一个直角三角形中，余割函数的值等于斜边长度和对边长度的比值。用数学公式表示为csc x = 斜边 / 对边。

同角三角函数的基关系式

1. 正弦和余弦的关系式：sin²x + cos²x = 1

这个式子实际上是勾股定理在三角函数里的版本，它告诉我们在一个单位圆上，正弦的平方和余弦的平方等于1。这个关系式在三角函数中用得非常广泛，我们可以利用它来证明其他的同角三角函数关系式，如下：

2. 正切和余切的关系式：tan x = sin x / cos x, cot x = cos x / sin x

这两个式子告诉我们正切和余切的值可以分别表示为正弦和余弦的比值的结果。其中，tan x 的分母为cos x，cot x 的分母为sin x。这个关系式在后续的推导中也有着重要的应用。

3. 正割和余割的关系式：sec x = 1 / cos x, csc x = 1 / sin x

这两个式子告诉我们正割和余割的值可以分别表示为余弦和正弦的倒数。其中，sec x 的值等于1除以cos x，csc x 的值等于1除以sin x。

4. 正切和余切的关系式2：tan x = 1 / cot x, cot x = 1 / tan x

这两个式子告诉我们正切和余切的值是相互倒数的，其中，tan x 的值等于1除以cot x，cot x 的值等于1除以tan x。

诱导公式

三角函数的诱导公式是指两个角度的三角函数之间的相互关系，这些关系可以通过数学方法推导出来，然后可以用这些关系在解决问题时进行变形和简化。下面是常用的几个三角函数的诱导公式及其推导思路和使用方法：

1. 余弦的诱导公式：cos(π/2 - x) = sin x

这个式子的推导思路是，首先考虑一个直角三角形中的两个角度x和(π/2 - x)的关系，在这个三角形中，邻边对应的正弦值等于斜边对应的余弦值，即sin x = cos(π/2 - x)。这个关系式就是余弦的诱导公式，它告诉我们，一个角度的余弦值可以通过另一个角度的正弦值来表示。例如，当x=45度时，π/2 - x=45度，cos(π/2 - 45) = cos(45) = 1/√2，sin 45 = 1/√2，由此可以得到cos(π/2 - x) = sin x = 1/√2。

2. 正切的诱导公式：tan(π/2 - x) = cot x

这个式子的推导思路与上一个式子十分相似，也是通过直角三角形中的角度关系来推导得到的。在一个直角三角形中，tan x = 对边 / 邻边，cot x = 邻边 / 对边，当我们转换角度时，可以发现cos(π/2 - x)和sin x恰恰是cot x和tan x的倒数，即cot x = 1/tan x = tan(π/2 - x)。因此，正切的诱导公式为tan(π/2 - x) = cot x。例如，当x=30度时，π/2 - x=60度，tan(π/2 - 30) = tan 60 = √3，cot 30 = 1/√3，由此可以得到tan(π/2 - x) = cot x = 1/√3。

3. 正弦的诱导公式：sin 2x = 2sin x cos x

这个诱导公式是通过正弦函数的半角公式推导得到的，半角公式指的是将一个角度x拆分成2x的两个角度，然后通过三角函数的基本公式来得到sin 2x的运算式。具体来说，我们可以利用下面的两个公式来推导出sin 2x的运算式：

sin²x + cos²x = 1 （基本关系式）

sin 2x = 2 sin(x + x) cos(x + x) （半角公式）

将cos(x + x)用基本关系式进行展开，可以得到cos(x + x) = cos²x - sin²x，将sin(x + x)用基本关系式进行展开，可以得到sin(x + x) = 2sin x cos x。将这两个式子代入sin 2x中，可以得到sin 2x = 2sin x cos x，这就是正弦的诱导公式。例如，当x=45度时，sin 90 = 1，cos 45 = 1/√2，代入sin 2x = 2sin x cos x中，可以得到sin 90 = 2sin 45 cos 45。

和角公式与倍角公式

三角函数的和角公式和倍角公式是高中数学中常用的公式，它们可以把一个三角函数转化为多个三角函数的和或者把一个角度变成另一个角度的两倍。下面是常用的三角函数的和角公式和倍角公式：

一、三角函数的和角公式：

1. 正弦函数的和角公式：

sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y

其中，当加号为正时，代表两个角度的正弦之和；当加号为负时，代表两个角度的正弦之差。

2. 余弦函数的和角公式：

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

其中，当加号为正时，代表两个角度的余弦之积；当加号为负时，代表两个角度的余弦之差。

3. 正切函数的和角公式：

tan(x ± y) = (tan x ± tan y) / (1 ∓ tan x tan y)

其中，当加号为正时，代表两个角度的正切之和；当加号为负时，代表两个角度的正切之差。

二、三角函数的倍角公式：

1. 正弦函数的倍角公式：

sin 2x = 2sin x cos x

2. 余弦函数的倍角公式：

cos 2x = cos²x - sin²x

3. 正切函数的倍角公式：

tan 2x = (2 tan x) / (1 - tan²x)

利用这些公式，可以将一个三角函数转化为多个三角函数的和，或者将一个角度转化为另一个角度的两倍，进而简化计算，推导出其他的三角函数式子。需要注意的是，在使用时，应根据具体问题的不同情况选择适合的公式进行运算。

三角函数的图像与性质

三角函数指正弦函数、余弦函数、正切函数等三个函数。这些函数在数学中的图像都是周期性的波形，各自有其特定的性质。下面我们逐一介绍：

1. 正弦函数

正弦函数的图像是一个周期性的正弦曲线，通常用符号y = sinx表示。它的周期为2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。而正弦函数在x轴上有极值0，在y轴上有对称轴。其特性还包括：

（1）定义域：f(x) = sin x 的定义域为全体实数集合R。

（2）值域：f(x) = sin x 的值域为[-1, 1]。

（3）奇偶性：f(x) = sin x 是一个奇函数，即f(-x) = -f(x)。

2. 余弦函数

余弦函数的图像是一个周期性的余弦曲线，通常用符号y = cosx表示。与正弦函数不同，余弦函数的周期也为2π，但其图像在x轴上有极值1，在y轴上有对称轴。其特性还包括：

（1）定义域：f(x) = cos x 的定义域为全体实数集合R。

（2）值域：f(x) = cos x 的值域为[-1, 1]。

（3）奇偶性：f(x) = cos x 是一个偶函数，即f(-x) = f(x)。

3. 正切函数

正切函数的图像是一个具有无数个渐近线的周期性函数，通常用符号y = tanx表示。它的周期为π，存在着相对极值和奇点。其特性还包括：

（1）定义域：f(x) = tan x 的定义域为{x|x ≠ (n + 1/2)π, n ∈ Z} ，即在点x = (n + 1/2)π处取值非法。

（2）无穷性：当x = kπ + π/2(k ∈ Z)时，f(x) = +∞或-∞，称为奇点。

（3）奇偶性：f(x) = tan x 是一个奇函数，即f(-x) = -f(x)。

解三角形

在解三角形问题中，三角函数是非常重要的工具，尤其是正弦定理、余弦定理、正切定理等，能够帮助我们确定未知角度和边长。下面我们逐一介绍如何使用三角函数解三角形问题：

1. 使用正弦定理解三角形

正弦定理适用于已知三角形中一个角和与它相对的两个边长，或者已知三角形三边长时，用来求解三角形中一个角的大小。具体公式为：

sinA/a = sinB/b = sinC/c

其中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的内角。

2. 使用余弦定理解三角形

余弦定理适用于已知三角形中一个角和与它相对的两个边长，或已知三角形三边长时，用来求解三角形中一个角的大小或者求解三角形的边长。具体公式为：

a² = b² + c² - 2bc cosA

b² = a² + c² - 2ac cosB

c² = a² + b² - 2ab cosC

其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为三角形的内角，cosA、cosB、cosC为三角形对应内角的余弦值。

3. 使用正切定理解三角形

正切定理适用于已知三角形一个角和它的一个边长，以及它的高或中线的长度，用来求解三角形的另一个角的大小。具体公式为：

tanA = 2S/ (b-a)

其中，a、b为三角形的两条边，S为三角形的面积。

• 举一个例子；假设有一个三角形，已知其中一个角的大小为30度，它与它相对的边长为4，与另一边的夹角为60度，问另一边的长度是多少？

根据正弦定理，可知：

sin30°/4 = sin60°/x

即：

x = 4*sin60°/sin30°

根据三角函数的定义sin30°=1/2，sin60°=√3/2，代入可得

x = 4*√3/2 ÷ 1/2

化简可得 x = 4*√3

所以，这个三角形另一边的长度为4*√3。

本文的篇章有点大，但是它分数高啊！学习数学知识的过程中，三角函数是一个绕不过去的坎，但是掌握了它，你就可以像一个数学大侠一样，在三角形中左右逢源，解决各种难题。所以，别再担心三角函数了，它其实就是一只蓄势已久的数学大炮，只要将其点燃，你就会发现它会像火箭一样让你的数学成绩腾飞！