第五章：高职高考数列的概念(高职数列题型及解题方法)

欢迎同学们来到第五章数列，当你坚持到这一章的时候，您已经成功了一半咯！在本章节中啦啦学长将向您介绍 数列前N项和性质，等差、等比数列的定义，等差、等比数列的性质，等差数列通项与前N项和，等比数列通项与前N项和，裂项求和。这六个考点，让我们一起来看看这六个考点的的五年分析吧。

那么现在就一起我们学习吧！

数列的前n项和性质

数列的前n项和Sn表示数列从第一项到第n项的和。数列的前n项和有以下性质：

1.等差数列的前n项和公式：对于公差为d的等差数列，它的前n项和为：Sn = n/2 [2a1 + (n–1)d]，其中a1是第一项。

2.等比数列的前n项和公式：对于公比为q的等比数列，它的前n项和为：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为第一项。

3.任意数列的前n项和公式：对于任意数列，它的前n项和可以表示为：

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an

= (a1+a2+a3+…+an-2) + an-1 + an

= (a1+a2+a3+…+an-2) + (an-2 + d) + an

= …

= (a1 + an)/2 * n

其中a1为第一项，an为第n项，n为项数，d为公差（当数列为等差数列时）或q为公比（当数列为等比数列时）。

4.常用的前n项和公式包括等差数列的Sn=n(a1+an)/2和等比数列的Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。在使用这些公式时，需要先确定等差数列或等比数列的首项、公差、公比和项数。

等差与等比数列的定义

等差数列

等差数列是指一个数列中，任意两项之间的差值相等。这个差值称为等差数列的公差。例如，2，5，8，11，14就是一个公差为3的等差数列。

等比数列

等比数列是指一个数列中，任意两项之间的比值相等。这个比值称为等比数列的公比。例如，3，6，12，24，48就是一个公比为2的等比数列。

总之，等差数列和等比数列是数列中两种基本的建立方法，而这两种数列经常出现在数学、 自然科学、社会科学等各个领域。在学习数列的过程中，了解等差数列和等比数列的定义以及它们的特点和性质，对于深入理解数列的概念和解题有很大帮助。

等差与等比数列的性质

等差数列的性质：

1. 公差的唯一性：一个等差数列的公差是唯一的。
2. 通项公式：设等差数列的第一项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。
3. 通项公式的逆推：可以通过将第n项代入通项公式逆推出公差或首项。
4. 前n项和公式：对于公差为d的等差数列，前n项和公式为Sn = n/2 [2a1 + (n–1)d]。
5. 对称性：数列的任意两项的和与中间项的和相等。

等比数列的性质：

1. 公比的唯一性：一个等比数列的公比是唯一的，但是首项可以为0。
2. 通项公式：设等比数列的第一项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1*q^(n-1)。
3. 通项公式的逆推：可以通过将第n项代入通项公式逆推出公比或首项。
4. 前n项和公式：对于公比为q的等比数列，前n项和公式为Sn = a1(1-q^n)/(1-q)。
5. 正项数列性质：等比数列中，如果公比q>1，则数列严格单调递增；如果0<q<1，则数列严格单调递减。

怎么求等差数列通项与前n项和？

等差数列通项公式

设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an，则有：an=a1+（n-1）d。因此，等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d。

例如，对于等差数列2，5，8，11，14，a1=2，d=3，可得an=2+（n-1）3=3n-1。

等差数列前n项和公式

设等差数列的第一项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = n/2 [2a1 + （n–1）d]。因此，等差数列的前n项和公式为：Sn = n/2 [2a1 + （n–1）d]。

例如，对于等差数列2，5，8，11，14，a1=2，d=3，要求前4项和S4，则Sn=4/2[2×2+（4-1）×3]=20。

怎么求等比数列通项与前n项和？

等比数列通项公式

设等比数列的第一项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an=a1q^（n-1）。因此，等比数列的通项公式为：an=a1q^（n-1）。

例如，对于等比数列2，6，18，54，162，a1=2，q=3，可得an=2×3^（n-1）。

等比数列前n项和公式

设等比数列的第一项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则有：Sn = a1（1-q^n）/（1-q）。因此，等比数列的前n项和公式为：Sn = a1（1-q^n）/（1-q）。

例如，对于等比数列1，2，4，8，16，a1=1，q=2，要求前4项和S4，则Sn=1×（1-2^4）/（1-2）=-15

什么是裂项求和？（24年高职高考必考）

裂项求和指的是将数列中的某些项拆分成若干个小项，从而将求和式化简为更简单的形式。最常见的裂项求和方法是将等差数列或等比数列中的项进行拆项，使得求和式中的相邻两项之差或比可以进行消去。

例如，对于等差数列1，4，7，10，13，16，19，22，25，我们要求其中前5项的和。可以将数列中的项进行两两相加，得到3个等差数列：1+25、4+22、7+19，再将这三个等差数列加和，就得到了裂项求和后的公式：

1+4+7+10+13= （1+25）/2 + （4+22）/2 + （7+19）/2 = （1/2）（25+22+19+7+4）

即，裂项求和后的等差数列前5项和为 25。

又如，对于等比数列2，6，18，54，162，我们要求其中前4项的和。可以将数列中每个项都除以2，得到新的等比数列1，3，9，27，81，这个新数列的前4项和为40。再将其乘以2，即可得到原数列的前4项和，即2+6+18+54=40×2=80。

当我们认真学习数学中的数列知识，不仅可以提升我们的数学能力，还可以让我们更加了解这个世界的运行规律。想象一下，如果世界上的数列任意增长或减少，我们的银行卡里的数字会飞速膨胀或急剧缩水，那可真是够糟糕的。所以，让我们和数列结下深厚的感情吧，让它们在我们的人生中增长吧，只要我们的学习足够努力，就一定可以迎接数学世界的一切挑战！好了，同学们。这就是我所总结出来的学习经验与笔记总结，如果您有更好的方法欢迎到评论区或者社团与我们交流联系。